Какую технологию выбрать для поиска Elastic или Postgres?

Из плюсов - бесплатный хостинг для бота

var doc = DocumentApp.openById('id документа');
var textToHighlight = 'текст для подсветки';
var highlightStyle = {};
highlightStyle[DocumentApp.Attribute.FOREGROUND_COLOR] = '#FF0000';
var paras = doc.getParagraphs();
var textLocation = {}; 
for (i=0; i<paras.length; ++i)
{
    textLocation = paras[i].findText(textToHighlight);
    if (textLocation != null && textLocation.getStartOffset() != -1)
    {
        textLocation.getElement().setAttributes(textLocation.getStartOffset(),textLocation.getEndOffsetInclusive(), highlightStyle);
    }
}

нормальный хостинг стоит хороших денег. Google в этом плане даёт нормальный хостинг для своих скриптов, лучше чем какой-нибудь VPS за 150₽/мес.

Стоимость разработки а первую очередь зависит от необходимых знаний разработки. GAS использует Javascript, который явно более популярен чем озвучены Postgres и Elastic, а значит и дешевле/проще в разработке.

в ТЗ озвучены примитивные задачи

и делать нечеткий поиск по документу

findText()

Searches the contents of the element for the specified text pattern using regular expressions.

A subset of the JavaScript regular expression features are not fully supported, such as capture groups and mode modifiers.

The provided regular expression pattern is independently matched against each text block contained in the current element.

console.log(/abc/.test("abcde")); // → true
console.log(/abc/.test("abxde")); // → false

и делать нечеткий поиск по документу

Бесплатных лимитов хватает только на самообучение, да примитивнейшие проекты.

есть, работают бесплатно

Хочу такую СУБД, в которой можно искать регулярками!!!