Каким образом исправить ошибки при запуске Kali Linux?

Похоже на повреждение файловой системы или каталога /etc. Попробуйте вытащить последний из бакапа и влить сюда.
Если не поможет - переустановить ОС поверх. Если и это не поможет - заменить диск и восстановится из бакапа.

Несколько вопросов:

1. Какая версия Kali?
   
2. Условия запуска (virtualbox или native)?
   
3. Какие-нибудь предпосылки (набор команд, туториалы)?
   

А так войди в recovery-mode;

ifconfig eth0 up && dhclient eth0
dpkg --configure -a
apt-get --fix-broken install
apt-get upgrade -y && apt-get dist-upgrade -y

И потом reboot

Виктор Соловьев, запуск kali (64bit light)осуществлен на virtualbox
При попытке войди в recovery-mode: