Как реализовать поиск во вложенном списке?

Раз уж у вас предполагается возможность одновременного поиска по различным странам/регионам - как-то странно пытаться использовать одно и то же свойство для всех полей поиска. Сами подумайте - свойство одно, стран двадцать (например). Как вы собираетесь хранить двадцать значений в одной строковой переменной?

Сделайте строки поиска свойствами объектов, внутри которых выполняете поиск. Т.е., замените

v-model="searchRegion"

на

v-model="country.searchRegion"

Аналогично и с городами внутри регионов.

Или можно сделать searchRegion и searchCity объектами, где ключами будут id стран/регионов, в которых осуществляется поиск. Как-то так.