Как добавить плавность при переключении вкладок?

Вы добавляете скрываемому элементу класс, переключающий свойство display, одновременно с классом, который задаёт изменение прозрачности - поэтому пронаблюдать последнее вы не успеваете. Переключайте display после того, как анимация будет завершена - для этого можно подписаться на событие transitionend. Например.