Ну варианта 2:
1- если это твой сайт, то лучше на сайте, при появлении новости дергать телеграм бота, и давать ему команду на отсылку сообщения.
2 - если сайт не твой: нужно делать парсер сайта или если у него есть RSS канал смотреть на этот канала и при появлении новости отсылать сообшение, парсеру придется ползать на сайт через какие-то промежутки и смотреть с последней новости пока не нашли. Это надстройка над/под потом. Можно написать на питоне или php что проще будет.
Средний