Существует ли программа или способ показа рандомного поста из группы FB или постов Instagram?

Ну если говорить об одноразовом пользовании, здесь и сейчас, то достаточно просто выкачать фотографии и далее выводить их любым слайдшоу.

Лайфхак, если добавить к адресу странички инстаграм параметр __a, то мы получим всю инфу профиля без каких то либо API доступов! Например что бы получить информацию аккаунта toster и ссылки на публикации, необходимо запросить JSON с помощью GET запроса сюда: instagram.com/toster/?__a=1

P.S.: А вообще я уже давно задумывался о создании подобного бесплатного сервиса. Теперь вижу, что спрос есть, так что следите за новостями)

я думаю, можно куда-нить скачать небольшую базу инстаграмовских постов, из нескольких профилей. а потом уже именно с этой базой и выполнять дальнейшие эксперименты))