Почему выходит паника — panicked at 'panicked at 'index out of bounds: the len is 0 but the index is 0'?

Вектор проинициализирован, но память не выделена. Сделайте так:
let mut matrix_c = vec![type;size];

У вас вектор matrix_c изначально пустой, Вы пытаетесь писать в несуществующий элемент.
Вижу, что у Вас закоменчен вариант с методом push (почему он Вам не подошел не знаю).
Как вариант можно сразу создать вектор нужного размера, заполненный значениями по умолчанию (например нулями):

// добавлю пару констант, для простоты модификации
let rows = 2;
let cols = 2;

let matrix_a =  vec![1,2,3,4];
let matrix_b =  vec![5,6,7,8];
let mut  matrix_c = vec![0; rows * cols]; // 0 - default, rows * cols - размер (4)

for row in 0..rows {
  for col in 0..cols {
    let mut vec_buf = 0;
    for k in 0..2 {
      vec_buf = vec_buf + matrix_a[row * 2 + k] * matrix_b[k * 2 + col];
    }
    matrix_c[row * 2 + col] = vec_buf; // теперь должно быть все ок
                         // так как спокойно передаем владение существующему элементу вектора
  }
}


for (i, x) in matrix_c.iter().enumerate(){
  println!(" элем = {:?}, значение = {:?}", i, x);
}