Как мониторить корректность отрисовки JS-виджетов на сайте?

Если скрипты прямо на страницу грузятся - и работают с вашим dom то можете делать все то же самое что и для своих объектов. Если в iframe - то в общем случае мало что можно сделать, если внешние скрипты сами как-то вам не будут сообщать об этом.

Если вам нужно это делать в плане теста в контролируемом вами окружении, есть инструменты которые делают скриншот и сравнивают с тем что должно быть, возможно что-то получится с ними.

Есть различные сервисы для логирования ошибок.
Один из самых простых к установке это https://sentry.io/. Есть нелохой бесплатный тариф - на 5000 логов в месяц. Все что выше этой квоты - платно.

Он логирует все ошибки, включая даже те, что возникают у клиента - например используюя расширение какого-то гугл переводчика.
Как пример, например ошибка что у юзера истек токен и его выкинуло из кабинета:


В целом шутка удобная, но в интернете есть инфа что может влиять на произовдительность сайта\приложения.
Мы его юзаем в CRM написаной на реакте и у нас все в целом летает (первая отрисовка с отключенным кешем):