Какие аргументы для клиента при обновлении сайта (редизайн)?

Можно написать поэму на сотню листов а4 с ссылками и цитатами. Но её не будут читать.
Из собственного опыта рекомендую сделать работу, показать и предложить выкупить. Если уверены в своих силах - все получится.

Первый вопрос, который стоит задать - а надо им это?
В некоторых отраслях дизайн совершенно не важен и клиенты приходят не взирая на то какой там у них шрифт на сайте. Клиент приходит за продуктом. Конкретным продуктом, если аналогов продукта нет, то и на структуру им все равно. Если сайт приносит прибыль, то может там все не так уж и плохо?
Дизайн делает для аудитории, 40 летнему дядьке плевать на картинки, рамки и стиль, он прагматичен и сайт должен быть таким же, так может их доисторический сайт не такой уж и плохой, как кажется?

Важна цель редизайна, а не типографика, структура и прочее.
Если вы четко обозначите клиенту например:
- Я могу сделать дизайн так, чтобы в службу поддержки приходило вдвое меньше звонков
- Я могу сэкономить вам на том-то - том-то порядка 1 млн в год перерисовав вот тут и вот тут.
- Вот эта фича позволит утереть нос вашему основному клиенту
и пр.
Тогда ваши услуги купят сразу, а так просто не понимают чего вы хотите от них и что они получат (в цифрах в итоге)
Определите цель дизайна ясно и четко с позиции бизнеса (а не дизайнера)

Только улучшенные конверсии посетителей в клиентов