Как правильно обрабатывать ошибки в PHP PDO?

Почитай про try, throw, catch - https://www.php.net/manual/ru/pdo.error-handling.php
То что юзеру не нужно видеть код ошибки это очень правильно.

Чем, собственно, вам try..catch не нравится?

try {
   $connection->beginTransaction();

   $this->questions->declineQuestion(Question::NEW, $uniqid);
   $this->mentorWorks->failWork($userId, $questionId, $uniqid);

   $connection->commit();
} catch (\PDOException $e) {
   $connection->rollBack();
   $this->logger->warning($e->getMessage);
}

Стоило на неделю лечь в больницу, как изо всех щелей поналезли гамадрилы

Первый, традиционно для тостера, рекомендует читать про то, в чем сам не смыслит ни бельмеса.

Второй, опять же, традиционно, разговаривает сам с собой, и отвечает на вопрос, который ему не задавали.

Третий тупо кидает ссылку на свое пахучее спагетти, в котором цинично измывается над механизмом исключений.

Как правильно и красиво написать запрос к MySql, чтобы пользователь увидел что с MySql что то не так, типа такого: Ой, MySql не отвечает

Никак.

К MySQL, PDO и запросам это не имеет никакого отношения.
Если у тебя файла не хватает или диск переполнился, или деление на ноль - сценарий будет тот же самый. То есть делать отдельную обработку ошибок для бд и как-то особенно по-хитрому писать запросы не имеет смысла

Обработку ошибок надо делать унифицированно и осуществлять в одном месте. А не размазывать, как манную кашу по тарелке, по всему коду.

Берём функцию, set_exception_handler(), и пишем в нее один раз все что хотим сказать юзеру в случае ошибки. Любой ошибки, а не только соединения с базой данных.

Примечание: юзеру глубоко фиолетово, MySQL не отвечает, или космическая станция на Марсе. Он, скорее всего, даже такого слова не знает. И грузить его подробностями не нужно.