Как сделать авторизацию на CGI C++, чтобы при переходе на другую страницу, пользователь оставался авторизованным?

Самый простой вариант - через cookie. После авторизации добавляется заголовок "Set-cookie" с уникальным идентификатором сессии. После получения заголовка "set-cookie" пользовательский браузер будет присылать этот идентификатор при каждом запросе. Соответственно обработчик получает идентификатор сессии из заголовка cookie, получает ассоциированную с сессией информацию из БД и использует (имя пользователя, корзина и т.д.).

Если нужно просто идентификатор пользователя, то можно вместо сессии отдавать в зашифрованном виде этот самый идентификатор. Тогда можно обойтись без хранения сессий, но такой подход совсем не безопасен.

Надо иметь ввиду, что с cookie много нюансов в плане безопасности.

у тебя есть файл/база:

user_id
username
password
----
user_id
token

юзер ввел правильный данные, сервер сгенерировал рандомную строку ( token ) и отдал юзеру
теперь с каждым запросом юзер отправляет заголовок Authorization: тут_токен
сервер по токену определяет от какого юзера пришел запрос

как альтернатива токену - есть еще JWT