Хранение параметров сайта без PHP, такое возможно?

Все прекрасно можно, просто надо понимать что нам надо вынести состояние в другое место. Можно обойтись и без сервера, просто сложность выносим в отдельный сервис, например, firebase. Получаем оттуда порядок и через JS перерисовываем элемент или отрисовываем его с нуля

Можно, используя якорную ссылку в URL, содержащую нужные настройки сортировки, типа: #DFGdfgDFGddGGD или #list4-2-4-434 и т.д.
При её вызове - обрабатываете якорь JS-скриптом и восстанавливаете параметры отображения.

Никак. Данные должны храниться на сервере, как бы вы того не хотели.

Придется подключать внешний сервис. Например, от Google. И чтобы что-то сохранить, придётся авторизовываться через них.