Как получать высоту textarea?

Высоту можете получить через el.outerHeight
А чтобы получить ее когда увеличивается придется писать свой костыль. Самый банальный вариант это когда слушаете событие onchange также можете слушать сливаться мыши (если хотите ловить ресайз с помощью мыши, а не увеличение из-за количества содержимого)

<textarea ref=(node=>this.__anyName) onInput={(e)=>console.log(e.currentTarget.scrollHeight)} />

и
const height = this.__anyName.scrollHeight

Работа с textarea в React не самая тривиальная.
Можете посмотреть реализации:
- TextareaAutosize в Material UI: https://github.com/mui-org/material-ui/blob/master...
- react-textarea-autosize: https://github.com/andreypopp/react-textarea-autosize