странная логика заложена у вас.
1. контейнер для таймер можно/нужно добавить в нужное место в HTML, а не добавлять каждый раз по клику, либо добавлять его по условию (что он еще не создан).
2. вы безусловно добавляете элементы, а потом лишнее удаляете, зачем?
3. зачем-то создали специально объект, хотя можно просто работать с массивом и удалять его элементы, массив это тот же объект.
const items = [];
items["one"]=1;
items["two"]=1;
if(items["one"]) console.log("Есть"); else console.log("Нет");
delete items["one"];
if(items["one"]) console.log("Есть"); else console.log("Нет");
// либо
items["one"]=0;
if(items["one"]) console.log("Есть"); else console.log("Нет");
4.
Мне нужно сделать так, что если человек постоянно кликает по кнопке, то обновлять таймер
у вас собственно вообще нет обработки повторного клика на туже кнопку, вместо этого у вас
удаление излишне созданного контейнера, т.к. он выше добавляется безусловно:
if (index > 0) {
$(this).remove();
}
и возврат из обработчика если есть элемент (т.е. ранее был клик):
if (items[name]) return;
5. для возобновления таймера, вам надо написать обработчик повторного нажатия а не выходить из обработчика по условию
if (items[name]) return;
т.е. так:
if (items[name]) {
// остановка анимации таймера и запуск заново
} else {
// код первого запуска таймера.
}
остановка анимации, см. метод
.stop
вообще код запуска таймера можно вынести в отдельную функцию, т.к. он скорее всего будет одинаков как для первичного запуска, так и для повторного запуска.
как-то так.
UPDATE: 
