Получить css свойство элемента vue?

Самый простой вариант - inline-style

<div id="test" :style="{ color: activeColor }"></div>

activeColor - из props или из data

То есть получать ничего не надо, нужно только задавать.
Часть CSS, которая будет как-то изменятся должна строится на основе данных изначально. А потом эти CSS св-ва ты получаешь не на прямую из css, а из данных, на основании которых св-ва CSS обновляются

Вопрос неправильный. Реактивность в том и заключается, что вы не "подхватываете" изменения, а связываете какое-то состояние (в данном случае - значение css-свойства color) с реактивной моделью Vue (data, props, computed). И работаете с моделью, а не со стилями. Как вам собственно выше и ответили.