On touch и подобные обработчики на javascript и jquery — как реализовывается проведение пальцем по экрану слева направо?

По поводу обработки действий пальцами: touchevents. Событий не так много: touchstart/touchmove/touchend. Событий типа click нету, они эмулируются и добавляют задержку в 300мс.

проведя пальцем слева направо по экрану

Это называется swipe. Такого события так же нету, как и tap его нужно хэндлить самому через touchstart+touchmove+touchend. Ну и есть конечно Hummer.js, который реализует все эти жесты. Собственно из этого следует что все мобильные браузеры поддерживают эти три типа событий, на базе которых можно реализовать все типы жестов.

Конкретно реализация менюшки подобной называется Drawer (выдвижной ящик). Реализация на html5/css/js. Но на слабых андроид девайсах все это очень грустно работает.