Вам необходимо собрать данные из формы и отправить на ваш скрипт проверки. В ответ присылать либо "Все ок", либо "Ошибка + текст ошибки". Если все ок - просто перезагружать текущую страницу (соответственно юзер уже будет залогинен), или выдавать текст ошибки на экран.
Отправка формы через ajax происходит по средствам перехвата события submit
Предположу что на проекте есть jQuery - тогда код будет похож на этот
//Перехватываем событие отправки
$('id вашей формы').submit(function(){
//Собираем данные из формы
var data = $(this).serialize();
//Посылаем запрос
$.ajax({
url: '/ПутьКВашемуСкрипту',
type: 'POST',
data: {
data: data
}
success: function(res) {
//Это вызовется при успешном ответе от сервера
console.log(res)
},
error: function(){
alert('Что то пошло не так :(');
}
});
});
На сервере теперь распечатайте что приходит в $_POST и проводите нужные манипуляции :)
Подробней про jQuery ajax
тут 
