Как посчитать сумму чисел на промежутке от a до b, без цикла?

sum = (1+b)*b/2;
sum2 = (1+a)*a/2;
result =sum - sum2;

Почти правильно... У меня тоже было такое решение, но при малых a, формула делает ошибку и при стандартных 1 до 100 выдает 1049(должен 1050), при 2 до 5 выдает 12(должно 14).
Если к результату прибавлять a то уже при 5 до 10 будет неверный ответ 60 (должно быть 55).
Можно условия навешать, но может есть более элегантная формула?

Вы по вашей формуле сумма не включает a. Отсюда и ошибка на 1.

Во-первых, есть комментарии к ответу. Во-вторых, ничего не путаете?
Нужно вместо a использовать (a-1):
от 1 до 100: (1+100)*100/2 - (1+0)*0/2 = 5050
от 2 до 5: (1+5)*5/2 - (1+2)*2/2 = 12
от 5 до 10: (1+10)*10/2 - (1+4)*4/2 = 45 (Откуда у вас 55 и 60 - непонятно)

a + (a + 1) + ... + b = (b - a + 1) * (b + a) / 2
я вспоминаю эту формулу так:
a + (a + 1) + ... + (b - 1) + b =
= a + 0 + a + 1 + a + 2 + ... + a + (b - a) =
= a * (b - a + 1) + (0 + 1 + 2 + .. + (b - a)) =
= a * (b - a + 1) + (b - a) * (b - a + 1) / 2 =
= (b + a) * (b - a + 1) / 2