Artem0071

Тоже недавно начал изучение фреймворка и столкнулся с данной проблемой

В общем не знаю на сколько это грамотное решение, но вы можете перейти в app/Exceptions/Handler.php

Там как я понял идет перехват всех ошибок
При авторизации используется unauthenticated, так что можете сделать так:

/**
     * Convert an authentication exception into an unauthenticated response.
     *
     * @param  \Illuminate\Http\Request  $request
     * @param  \Illuminate\Auth\AuthenticationException  $exception
     * @return \Illuminate\Http\Response
     */
    protected function unauthenticated($request, AuthenticationException $exception)
    {
        if ($request->is('api/*')) {
             // тут пишите что хотите вывести, например: 
             return response()->json(['error' => 'auth']);
        }

        if ($request->expectsJson()) {
            return response()->json(['error' => 'Unauthenticated.'], 401);
        }

        return redirect()->guest(route('login'));
    }

Остальные ошибки можно в render() по той же схеме
У меня что то вроде этого получилось

if ($request->is('api/*')) {

            if ($exception instanceof \Symfony\Component\HttpKernel\Exception\NotFoundHttpException)
                return $this->setStatusCode(400)->renderOutput();

            if ($exception instanceof AuthorizationException)
                return $this->setStatusCode(403)->renderOutput();

            if ($exception instanceof ModelNotFoundException)
                return $this->setStatusCode(404)->renderOutput();

            if ($exception instanceof \Symfony\Component\HttpKernel\Exception\MethodNotAllowedHttpException)
                return $this->setStatusCode(405)->renderOutput();

            if ($exception instanceof \Symfony\Component\HttpKernel\Exception\MethodNotAllowedHttpException)
                return $this->setStatusCode(405)->renderOutput();

//            return $this->setData(['extension of' => get_class($exception)])->renderOutput();
        }