Barmunk

1. Создайте глобальный посредник http to https

<?php

namespace App\Http\Middleware;

use Closure;

class HttpsProtocol
{
    /**
     * Handle an incoming request.
     *
     * @param  \Illuminate\Http\Request $request
     * @param  \Closure $next
     * @return mixed
     */
    public function handle($request, Closure $next)
    {
        if (!$request->secure()) {
            return redirect()->secure($request->getRequestUri(), 301);
        }

        return $next($request);
    }
}

2. в env поменяйте http на https
APP_URL=https://site.ru

по проекту по умолчанию используйте {{route('action')}} для https

По второй проблеме выглядит как баг, лучше его отдельно изучить, чем подставлять костыли для фреймворка