Так как сам новичок в этом, пишу ответ как для новичков.
Я долго пытался сделать что то с паролями, учетными записями ос, но всё это не то.
Из лога важно понять что идёт запрос с тестового сервера (где приложение) http://000.000.000.003/ на сервер с GitLab с репозиторием http://000.000.000.002/ и хочет он авторизоваться именно на аккаунте GitLab а не на учётке в ОС. Так же я заметил упоминание про SSH.
В общем я перестал делать всё через пароли. Стал разбираться с SSH, прочитал про него тут https://losst.ru/avtorizatsiya-po-klyuchu-ssh. В общем его надо сгенерировать а потом в панели GitLab в настройках аккаунта добавить его
Решение
В конфиге Capistrano изменил ссылку external_url на SSH тип (её можно скопировать на странице репозитория в GitLab)
git@000.000.000.002:root/nameproject.git
Зашел на тестовый сервер 000.000.000.003, через удалённый доступ что бы можно было копировать текст.
Выполнил команду для генерации ключей, нажимал просто Enter ничего не вводил
ssh-keygen
Нам нужен публичный, он сгенерировался зедсь, откроем его
vi ~/.ssh/id_rsa.pub
Скопируем содержимое файла и вставим в GitLab'е в

Профиль в правом верхнем углу > Settings > слева список > SSH Keys

и нажмём кнопку "Добавить ключ"
Готово. Шаг развёртывания с авторизацией в удалённом репозитории должен быть пройден.