Какой-то странный интерфейс, если честно. Но если так надо, то я бы сделал так:
$('table').on('click', 'button',function() { // делегирование, если поля будут меняться динамически
var $par_tr = $(this).closest('tr'), // находим родительскую строку таблицы, кешируем в переменной
value = $par_tr.find('input').eq(0).val(), // метод .find() возвращает массив!
status;
/*
здесь работает ваш AJAX
*/
if (ajaxResult) { // булево значение, возращаемое AJAX`ом
status = 'Есть!'
} else {
status = 'Нет!' // Нету слова "Нету" xD
}
$par_tr.find('td').last().html(status); //предпочитаю использовать метод .html(), в строку можно записывать теги, инлайновые стили и прочее.
});