Реверс запросов
Получаете логин-пароль пользователя, под ним авторизируетесь. Обязательно локально. После смотрите запросы VK, получаете список аудио. Реально даже получить поток конкретной песни.
Конечно, Apple / Google удаляют такие приложения по жалобе. Но есть живучие.
P.S. Есть второй вариант - показать WebView, авторизироваться и перехватывать URL песни, когда пользователь нажимает на плей. Ну или добавить кнопку скачать, которая сама остановит аудио и начнет скачивать в локальное хранилище.