Ошибка говорит о том, что php-fmp на может найти файл, который вы просите запустить.
Вообще если отследить прохождения запроса по вашему конфигу, то получается примерно следующие:
1. пришел запрос, пусть даже /
2. try_files такой файл не находит и отправляет его в @rewriteapp;
3. @rewriteapp отправляет нас на адрес /app.php//
4. теперь после реврайта мы попадаем в location и тут указываем, что
SCRIPT_FILENAME = var/www/test.lan/public_html/app.php//
вот этот адрес php-fmp и не находит.

p.s. вы уверены, что хотели указать относительный адрес в директиве root?
В php-fmp он тоже приходит как относительный, и я вот так сразу ни скажу, корень у него сейчас текущая директория или какая другая.

Так там же все верно ответили. Не знаю, понимаете ли Вы или нет, но Angular - это фреймворк для клиентской части приложения. Он работает на страничке в браузере у пользователя, который открывается Ваш сайт. Ему совершенно до лампочки какой у Вас сервер, и это может быть хоть Node, хоть Java, хоть PHP. Общаться с сервером Вы все равно будете по HTTP. А доступ к базе в Вас будет только на сервере, из серверного кода. И какой язык и фреймворк Вы будете использовать для запросов к базе - это уже Вам выбирать.
Именно поэтому Вам трудной найти ответ на вопрос о связке Angularjs + MongoDB, потому что они никак не связаны. Они вообще друг с другом не встречаются никогда, между ними всегда есть еще кто-то.

Достаточно полное раскрытие вопроса

Если бы сейчас можно было снова пойти учиться в университет: для бакалавриата выбрал бы факультет КТУ университета СПбГУ ИТМО, но в магистратуру пошел бы в Алферовкский Университет.