Ordec

Окей, вы в самом начале пути. Советую вам ознакомиться с формами и как они работают. Не нужно писать 2 раздельные формы, запишите все в одну форму.
frontend.php

<form action="backend.php" method="get">
    <input type="text" name="time">
    <input type="text" name="distance">
    <input type="submit">
</form>

В графе action нужно указать ссылку куда отправлять эти данные. Следовательно нам нужен обработчик для него. Создаем новый .php файл.

backend.php

$t = $_GET['time'];
$s = $_GET['distance'];
$v = $s / $t;
echo $v;

После того как мы нажмем кнопку, данные из полей time и speed запишутся в глобальный массив $_GET. И из нашего backend.php мы сможешь их вытащить. А затем просто выводим само расстояние.

Резюмируем: В данном случае файлы frontend, backend находятся в одной папке/проекте. (Если вы используете xampp, он должен быть в корневой папке xampp/htdocs/your_project. Если ubuntu то /var/www/html/your_project). Поэтому они могут без проблем взаимодействовать друг с другом. При помощи формы, а именно поля action в frontend'e мы указываем куда нужно отправить данные. И из backend'a их получаем.

Для того чтобы открыть ваш проект в браузере вводим localhost/your_project/frontend.php

Я бы добавил не тег a, а сделал кнопку и в скрипте бы модифицировал url.

$('#buttonID').click(function(){
    var url = window.location;
    url = url + '&page_id=15'; //или '&param2=value'
    window.location.replace(url);
})

Форму можно отправлять при помощи$('#formID').submit(). Внутри JS файла.
Сделать что-бы он сразу отправлял не получится. Вам нужно поставить условие когда пользователь закончил. Например ввел 10 символов. Потом в JS файле отслеживаете набор этих самых 10 символов. (Это пример, у вас может быть другое условие.)
Сделать слушателя которой будет следить за вашим инпутом, и когда условие выполнится, сабмитить форму.

А вообще, формы, это отправка данных со стороны пользователя серверу. Поэтому лучше все таки добавить кнопку, или нажатие Enter. Ведь юзер может ошибиться, и тогда форма перезагрузит страницу и юзеру придется вводить все заново.