Василий

В head указывали meta?

<meta charset="utf-8">

Наименование компонентов согласно спецификации vue name casing

TempComponent.vue

<template>
  <div>
    temp-component
    <hr />
    <RowComponent :rows="3" />
  </div>
</template>

<script>
import RowComponent from "./RowComponent";

export default {
  name: "temp-component",
  components: {
    RowComponent
  }
};
</script>

RowComponent.vue

<template>
  <div>
    Row
    <col-component :rows="rows - 1" />
  </div>
</template>

<script>
import ColComponent from "./ColComponent";

export default {
  name: "RowComponent",
  props: {
    rows: {
      required: true,
      type: Number
    }
  },
  components: {
    ColComponent
  }
};
</script>

ColComponent.vue

<template>
  <div>
    Col, next rows count: {{ rows }}
    <template v-if="rows > 0">
      <hr />
      <row-component :rows="rows" />
    </template>
  </div>
</template>

<script>
import RowComponent from "./RowComponent";

export default {
  name: "ColComponent",
  props: {
    rows: {
      required: true,
      type: Number
    }
  },
  components: {
    RowComponent
  }
};
</script>

Результат

temp-component
------------------------------
Row
Col, next rows count: 2
------------------------------
Row
Col, next rows count: 1
Row
------------------------------
Col, next rows count: 0

Если нельзя передать через props, то есть 2 варианта:
1. Записать во Vuex и во втором компоненте брать из vuex
2. Делать emit во втором компоненте, передавать колбэк, который будет принимать data и устанавливать showChoose во втором компоненте. В первом компоненте ловить событие и вызывать колбэк с showChoose.