В actionIndex у вас скорее есть строчка вроде этой:
$models = News::find()->all();
У вас же должно быть что-то вроде:
$models = News::find()->where(['parent_id' => Yii:$app->user->id])->all();
А вообще изучите
yii-db-activerecord и
yii-db-activequery
Про разрешение на редактирование: ну проверьте в actionUpdate равенство parent_id и id текущего пользователя. Или сразу смотрите в сторону RBAC.