Alexander Smirnov

Во-первых, обратите внимание что массива data в Вашем коде не существует var_dump($_POST['data']);

Во-вторых, лучше воспользуйтесь плагином jquery.form.js

Тогда Ваш код будет таким:

<form action="mail_handler.php" id="feedback-form-call-request" class="feedback-form" method="POST">
<div id="output"></div>

$(function() {
    $("#feedback-form-call-request").on("submit", function(e) {
        e.preventDefault();
        $(this).ajaxSubmit({
            dataType: "json", // "html", 
            beforeSubmit: function() {
                // скрываем старые сообщения об ошибках перед отправкой формы
            },
            success: function(resp) {
               // показываем ошибки или сообщение об успешной отправке
            }
        });
    });
});

В-третьих, лучше чтобы обработчик возвращал не html код, а json-объект.

// различные правила валидации
if () {
    $result = ['error' => 0, 'msg' => 'Объект успешно сохранен.'];
} else {
    $result = ['error' => 1, 'msg' => 'Исправьте ошибку: заполните поле такое-то.'];
}
echo json_encode($result);

Тогда вы можете кастомизировать сообщения и отдельные события в обработчике.

success: function(resp) {
     // показываем ошибки или сообщение об успешной отправке
    if (resp.error == 0) {
        $("#output").attr("class", "alert alert-success").html(resp.msg);
    } else {
       $("#output").attr("class", "alert alert-danger").html(resp.msg);
    }
}