cicatrix

У тебя скорее всего две подписки на Tick оформлено.
Вот эта строчка у тебя в конструкторе:
timer1.Tick += timer1_Tick;
И ещё точно такая же, скорее всего, в Form1.Designer.cs присутствует. Убери одну из них

Это не код, это огромная дыра в безопасности!
Вот, почитайте на досуге.
Database - 'это название таблицы такое? И в ней есть поле с кириллическим названием Код?
А в текстовое поле число вводится? А если текст ввести, что будет?
А если я туда введу 1=1; DROP TABLE Database; что будет?

Назначение обработчиков событий в WF по умолчанию средой делается в методе InitializeComponent() - в конструкторе формы помещён его вызов. Из него убрать надо, а само тело метода просто удалить.

сам файл я поменял кодировку на UTF-8

Похоже, что нет. Или используемый на форме шрифт не поддерживает кириллицу.

А что именно не работает-то?
Методы исполняются синхронно, и пока весь цикл не закончится, картинка отображаться не будет... вернее, может и будет, но по желанию операционной системы.
В тело цикла добавь Application.DoEvents(). В целом, криво, но для лабы сойдёт. Особенно, для такой, где анимацию в Windows Forms заставляют делать.

И то, и другое - фреймворки для разработки GUI (Графического пользовательского интерфейса).
И этими двумя выбор, в принципе, не ограничивается. Существуют и другие:
Avalonia
Qt
wxWidgets
Да и другие есть, кто-то больше, а кто-то меньше приспособлен для C#. В целом, даже на UnityEngine можно GUI сделать (да ещё какой!). Так же, к программе можно сделать и веб-интерфейс.

Тут следует понять, что GUI - это оболочка. Сама по себе она должна отрисовать окошки, кнопочки, текстовые поля, списки и пр., но остальное всё должна делать программа, написанная разработчиком.
Хорошей практикой вообще считается писать так, чтобы как можно меньше была привязка программной логики к графической оболочке. Сама программа может вообще быть скомпилирована в class library, а уж интерфейс потом к ней можно пристыковывать любой.

Если ты новичок, то особо не заморачивайся с интерфейсами. Для начала научись самому языку, для обучения подойдёт и командная строка. Не стоит думать, что твоя первая программа будет пользоваться настолько большим спросом, что к ней вообще потребуется граф. интерфейс. Да, разумеется, изучать особенности той или иной граф. библиотеки придётся, но это потом. Сначала нужно освоить сам язык.

Что проще сказать сложно. Мне вот проще WF, но исключительно потому, что это первое (и на тот момент - единственное, что вообще было доступно для C#), сейчас выбор богаче.
Есть так называемый "синдром утёнка", обычно люди хвалят то, что увидели и освоили первым (так утёнок, якобы, считает первое увиденное им существо своей мамой). Поэтому я и говорю - не стоит акцентировать внимание на GUI, сам язык важнее.

buttons[i].Click += Button1_Click; // или другой обработчик нажатия

Ну если в лоб делать так, как написано в условии, то:

string input  = "Раз два три четыре пять, я иду искать";
string[] words = input.Split(new char[] { ' ', ',', '.', '-', '!', '?' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries);
foreach(var word in words) { Console.WriteLine($"{word}: длина {word.Length}"); }

Установи свойство Dock в значение Fill или закрепи текстбокс при помощи свойства Anchor

Либо рисовать, либо GridView

В диспетчере задач обыкновенный ListView в режиме Details.
Внизу, скорее всего, он же, только с OwnerDraw (режим, когда ячейки рисуешь сам).

Для винды сохранение данных (когда программы работают не одновременно):
1. Файловая система
2. База данных
3. Реестр (в винде)

При одновременной работе (в винде) можно воспользоваться следующими каналами:
1. Именованные каналы (Named pipes)
2. Сообщения Windows (Messages)
3. Сокет TCP/IP
4. Разделяемая память

Пример

Клик по иконке в панели задач приводит к запуску приложения. Если ваше приложение уже запущено, запустится ещё одна копия.
Если вы хотите, чтобы ваше приложение запускалось только единожды (в одном экземпляре), то есть несколько подходов - либо создавать в системе мьютекс, и удерживать его до выхода (при повторном запуске, если мьютекс занят, завершать приложение), вот здесь описано подобное решение. (Там же приведён код активации окна уже запущенного приложения, если оно свёрнуто).
Альтернативно, можно смотреть список запущенных процессов, искать свой процесс, и выходить, если найден.
Либо в качестве мьютекса можно использовать любой блокирруемый системный ресурс (например, файл), но это не правильно.
Ещё можно использовать именованный канал (named pipe), но это более громоздкое решение, и его следует использовать только если вам нужно осуществлять коммуникации между несколькими копиями вашего приложения.

Вот здесь ваша проблема подробно описана.
Вкратце: для вызова метода формы из другого потока, необходимо вызывать её через механизм Invoke. Вот пример оттуда:

public static void InvokeIfRequired(this ISynchronizeInvoke obj,
                                         MethodInvoker action)
{
    if (obj.InvokeRequired) {
        var args = new object[0];
        obj.Invoke(action, args);
    } else {
        action();
    }
}

где action() - ваш метод