Варианты разные, можно использовать указанный выше signalr.net, можно MQ, можно Akka.Net и даже WebApi.

Выбор также зависит от того, что за клиентские приложения: mobile, desktop или web.
Будет ли возрастать нагрузка в будущем. А также отказоустойчивость и т.п. нюансы.

>>2) перенести базу в СУБД PostgreSQL, которая будет теперь на удаленной машине;
Делайте Web Api сервис (можно и не один), который будет крутиться на удалённой машине и работать с PostgreSQL. А также будет отвечать на запросы от приложений (для пациентов, для сотрудников).

>>1) разделить приложение на несколько, т.е. для пациентов одно приложение, для сотрудников другие
это может остаться даже одно приложение, просто на уровне прав скрывать для юзера лишние вкладки/контролы

>>3) предоставить доступ к некоторым файлам на сервере, как пациентам (для загрузки), так и сотрудникам
При логине в приложение дёргается Web Api сервис, который выдаёт права (+ некоторый токен) данному юзеру и потом при вызове Web Api методов, надо использовать этот токен и права

На C# (Web Api, Dapper) это всё можно реализовать.

Очень похоже на dead-letters queue, можно почитать в документации какие сообщения туда попадают.
Если посмотрите у сообщения MT-Reason: dead-letter