dollar

Конечно же есть такие расширения.

Даже я когда-то создал поделку на данную тему. Не знаю, работает ли сейчас, но должна работать.

Узнать не могут.
Ничего не будет.
Иногда барахлит тот сайт или твой интернет.

В теории админу может прийти в голову забанить твой ip-адерс, но без особой причины это глупо. Невозможно заранее предсказать, дурак ли админ.

P.S. Если ты каждые 30 минут будешь заходить в продуктовый магазин и выходить из него, то это не слишком быстро? Продавцы и охранники не заподозрят неладное? И если заподозрят, то что будет?
(Наверняка приедет сам Путин и лично нацепит на тебя наручники)

Например, можно сохранить в localStorage сайта,
либо в localStorage фоновой страницы.

Так контент-скрипт - это часть расширения. Так что не получится его не использовать. Поэтому только через сообщения.

content_script и background общаются через сообщения. Нужно сделать обработчик в background и обращение к нему в content_script.

В background так:

chrome.runtime.onMessage.addListener((request, sender, sendResponse) => {
  if (request.type == "myMessage") { //можно обойтись без типов
    let v = request.v; //12345
    // ...что-то сделать
    sendResponse({answer: 'ok'}); //не обязательно
  }
}

В контент скрипте как-то так:

chrome.runtime.sendMessage({
  type: "myMessage", //тип сообщения, если их несколько
  v: 12345,  //какие-то данные нужно переслать в background
  }, function(data) { //callback, если нужно
    if (data.answer == 'ok') console.log('всё в порядке');
  }
});

1.

существует 3-и типа скриптов

Все три сразу можно и даже нужно, если требуется для целей расширения. Единственное, content script на все сайты пользователи не любят, т.к. расширение получает слишком много опасных с точки зрения приватности и безопасности прав. А вот content script на конкретный сайт (со ссылками на прокси) или 2-3 сайта - можно, это выглядит хорошо.

2.

Запрос на получение и модификацию popup.html, popup.js не дает

Расширению нужны права на доступ к www.proxybeatch.io (либо доступ вообще ко всем сайтам):
"permissions": [ "https://www.proxybeatch.io/*" ],

3.

как общаться из background.js в popup.js

Никак.
popup.js - временный скрипт. Он выгружается, когда закрывается окно. Хотя это зависит от браузера, может остаться фантомно - это тонкий момент, который нужно учесть при разработке для Firefox и Chrome одновременно.
Вообще можно из popup обратиться к background и там оставить ссылку на себя. Но обращение по этой ссылке опасно.
Лучше делать так: в background происходят все основные процессы и имеют разную степень готовности. А popup просто получает готовую инфу и отображает её. Сам popup при этом никуда не стучится, а отдает задания для background, который уже неспешно занимается обновлением и сортировкой данных.

4.

бэйдж не из popup.js а из background.js

Не знаю, в чем сложность. Бейдж устанавливается абсолютно также. Вероятно, у вас какой-то баг в коде.

5.

Как сделать периодическую проверку

setInterval()
Ну или есть вариант через alarms, но в целом без разницы.

6.

прокси с вэб страницы. Такое возможно?

Возможно. Это должен быть либо ваш сайт, либо вы должны хорошо знать формат, в котором представлены списки прокси. Проблема решается контент скриптом для данного конкретного сайта. Этот скрипт добавляет к ссылкам соответствующий обработчик, или даже целую кнопку рядом с инфой о прокси.

7.

анимированное разворачивание popup, как отключить?

У меня нет никаких анимаций. Возможно, это какие-то настройки самого браузера или ОС, точно не знаю. В любом случае, это проблема пользователя расширения, а не разработчика расширения. Как пользователь, ищите настройки в другом месте.