Есть два варианта: либо юнит-тесты, либо e2e.
С юнит-тестами все в общем точно так же. Из тестов запускаем инстанс приложения, делаем http-запрос, получаем ответ и проверяем, что там все на месте. Не забываем в teardown убить приложение. Чтобы не изобретать велосипед, можно взять
supertest.
e2e-тесты выполняют более общую проверку на то что определенные пользовательские сценарии проходят без проблем. Тут надо смотреть в сторону
Nightwatch и
TestCafe.
