На самом деле вы тут вопросов написали на целую книгу. Просто так и не ответить.
Если вкратце, то
1) Реализуют Servlets API (описанную в JEE), каждый по своему. Но в целом, просто обрабатывают запрос и отправляют его на сооветствующий (определенный в конфиге) сервлет. Предлагаю поизучать исходники - код открытый.
2) Что такое конфиги IDE? Артифакт я так понимаю - это из Maven? или нет?
4) web.xml - это конфигурационный файл томката. Насколько, я знаю другие серверы определяют свои файлы.
6) А что вы подразумеваете под полноценным сервером для java сайтов? Приведите примеры.