Почему yii2 не так запускается на хостинге?

Если бы мне платили каждый раз, когда я вижу подобный вопрос тут - я бы не работал.
Ваш хостер даёт вам настроенный домен на какую то папку типа public_html. В эту папку вы должны поместить содержимое вашей папку web. А остальные папки - на один уровень с папкой public_html. И .htaccess должен быть только в папке web.

Таким образом содержимое вашего каталога будет выглядеть как то:

...
controllers
models
...
public_html
...
vendor
...

То есть папка public_html будет выполнять функции папки web. А папки web - не будет.

Ну во-первых debug tools и созданы специально для того чтобы их видеть можно было только при локальной разработке, чтобы клиенту не показывать их. Если уж очень надо то в конфигах добавляем allowedIPs, что-то вроде того

// ...
if (!YII_ENV_TEST) {
    // configuration adjustments for 'dev' environment
    $config['bootstrap'][] = 'debug';
    $config['modules']['debug'] = [
        'class' => 'yii\debug\Module',
        'allowedIPs' => ['*'],
    ];
    
    // ...
}

Во-вторых

сайт работает совсем не так

Не кажется ли вам что эта формулировка очень размыта и не говорит ничего, какие КОНКРЕТНО ПРОБЛЕМЫ возникли с сайтом?