Может ли php получать и сразу же обрабатывать часть запроса, не дожидаясь окончания получения запроса?

как писал в другом вашем вопросе - лучше используйте nodejs модуль net - и можете легко создавать долгоживущие сокеты и обрабатывать данные по мере поступления, без плясок с бубнами.

если не жить не быть надо на пхп то лучше двигайтесь в сторону сокетов. используйте например phpDaemon или любой аналог.

ну и еще один хардкорный вариант работающий из коробки это реализация сокетов работает еще с пзп 4
php.net/manual/ru/function.socket-connect.php
почти не исопльзовал но там можно читать и писать помере поступления данных.

> Может ли php получать и сразу же обрабатывать часть запроса, не дожидаясь окончания получения запроса?

Да, можно.
Почитайте как открывать и использовать "сырые" сокеты: php.net/manual/en/function.fsockopen.php

> Если сервер с серым IP отправит запрос серверу с белым IP, то может ли сервер с белым IP отправлять ответ бесконечно долго, таким образом создав постоянное подключение для туннелирования?

Можно, если это не заблокировано на белом сокете.
Заблокировано может быть:
1. максимальное время таймааута выполнения скрипта.
2. максимальное время обработки страницы настраивается в апаче)
и тп.

> Может ли php получать и сразу же обрабатывать часть запроса, не дожидаясь окончания получения запроса, так как один ответ сервера длится бесконечно и его, естественно надо обрабатывать частями?

Может, смотрите сокеты.

PS: првада то что вы делаете - странно и нелогично.